「それでは授業を始める。起立、礼！」

　10月8日の木曜日、1時間目。いつも通り授業が始まった。いや、必ずしもいつも通りではないな。生徒達はいつも以上に顔がやつれている。中には涙をまぶたに湛えている奴も。

「……いつも思うんだが、挨拶くらいきっちりやろうぜ。ま、今日はんなことどうでも良い。言っても聞かないだろうからな」

　そう、今日は試験明け1回目の授業だ。俺はあまり共感できないが、落ち着いてはいられないようだ。妙にくたびれているのもそのせいか。よし、待たせるのもあれだからな。一思いにやってやるか。

「早速だがテストの返却を行う。出席番号順に取りに来るように。それから、受け取る時は両手でな。それが礼儀と言うもんだ」

　俺がこう言うと、皆一斉に列をなした。ある生徒は答案を隠し、またある生徒は自信満々な表情をみるみる崩していく。

「おお、辛うじて赤点を免れたでマス！」

「え、なんだって！　僕は赤点なのにさ……」

　……ターリブン、お前さんとイスムカは1点しか変わらねえぞ。だが、よく3割近くも取れたと言っておいた。てっきり1桁かと思ったからな。

　一通り済み、生徒は席に着いた。皆、答案の点数が書かれた部分を折っている。隠したところで学年毎に掲示されるんだから、意味無いのにな。

「さて、わめくのは授業後にしてもらうとする。まずは講評をさせてもらおう」

　俺があちこちにガンを飛ばすと、たちどころに生徒はおとなしくなった。それを確認し、俺はゆっくり口を開く。

「結論から言えば、お前さん達の不勉強さが良く分かるものだった。学年平均が28.5点、クラス平均に至っては21.1点の体たらく。ちゃんと、赤点を回避できるように作ったんだがな」

「有り得ないでマス……どう考えても殺しにかかってたでマス」

「それを勉強不足と言うんだ。全部教科書に載ってたぜ」

　俺は軽くあしらった。証明問題の出来が特に悪かったのが、一夜漬けで臨んだ良い証拠になるんだよな。ま、落としてばかりでは逃げ道が無い。明るい話題も撒いておくか。

「もっとも、進学クラスもここと大差無い。これは裏を返せば、進学クラスも大したことない連中だったと言うこった。今、1年生200人は横一線……このチャンスを活かすも殺すもお前さん達次第だな。ま、こんな状況でも満点を取った強者がいることは喜ばしい限りだ」

「だ、誰なんですかそれは？」

　お、イスムカが食いついたな。生徒達もにわかに騒がしくなってきた。俺は指揮者の如く両腕を上げ、これを鎮めた。

「誰か？　イスムカ、お前さんも良く知る人物だ。まあ、許可も取ってるし大丈夫だろ。今回満点を取ったのは進学クラスのラディヤ、ただ1人だ」

　俺が彼女の名を口にすると、生徒達は驚嘆の声を上げた。一方、一部の奴らは諦めたかのようにため息をつく。俺は構わず話を続ける。

「そもそも、半分に到達したのは彼女だけだった。……これだけ見れば、勉学は才能でもって決まるように思える結果だ。だが、それは違う。今回の問題はいずれも教科書に根差したものだから、ちゃんとやっとけば半分は余裕だったはずなのさ。しかし、テスト前にあれ程言ったにもかかわらず、お前さん達は参考書に走って勉強した気になった。その結果がこれだ……もっと基本を丁寧に押さえるんだな。それと、毎日復習しろよ。毎日10分の継続学習と1日だけ10時間やるのでは、前者の方が圧倒的に強い。楽だしな。じゃ、そろそろ解説に入る。各自、ペンを持って備えるように」

　俺はチョークを持ち、黒板と向かい合った。生徒達がペンを持つ音が止むのを見計らい、さっさと書き始めるのであった。


・おまけ　テスト解答

問1：　△ＡＢＣとそれに外接する円Ｏについて、半径をＲ、ＢＣ＝a、ＣＡ＝b、ＡＢ＝cとする。
　　(i)0＜∠Ａ＜90°である時
　　　 ＢＤ＝2Ｒとなるような点Ｄを円周上にとる。この時、円周角の定理より
　　　 ∠ＢＣＤ＝90°、∠Ｄ＝∠Ａだから、
　　　 sinＤ＝sinＡ＝a/2Ｒ
　　　 これを変形すると、a/sinＡ＝2Ｒ
　　　 他の角でも同様である。
　　(ii)∠Ａ＝90°の時、
　　　　sinＡ＝1、a＝2Ｒだから
　　　　a/sinＡ＝2Ｒ
　　　　他の角でも同様である。
　　(iii)90°＜∠Ａ＜180°の時、ＢＤ＝2Ｒとなるような点Ｄを円周上にとる。この時、∠Ｄは∠Ａの対角だから
　　　　∠Ｄ＝180°−∠Ａ
よって、sinＤ＝sinＡ＝a/2Ｒだから
　　　　a/sinＡ＝2Ｒ
　　　　他の角でも同様である。

問2：△ＡＢＣについて、ＢＣ＝a、ＣＡ＝b、ＡＢ＝cとする。また、ＡからＢＣに垂線を下ろし、交点をＨとする。
　　 (i)∠Ｂが鋭角の時
　 　　 ＡＨ＝ｃ*sinＢ
　　 ＢＨ＝ｃ*cosＢ
　　　ＣＨ＝ＢＣ−ＢＨ＝a−ｃ*cosＢ
　　　　三平方の定理より、
　　　　ｂ^2＝(a−ｃ*cosＢ)^2＋(ｃ*sinＢ)^2＝a^2＋ｃ^2
−2ac*cosＢ
　　(ii)∠Ｂが直角の時、(i)より
　　　　 ｂ^2＝(a−ｃ*cos90°)^2＋(ｃ*sin90°)^2＝a^2＋ｃ^2−2ac*cos90°＝a^2＋ｃ^2
　 (iii)∠Ｂが鈍角の時
　　　　ＡＨ＝ｃ*sin(180°−∠Ｂ)＝ｃ*sinＢ
　　　　ＢＨ＝ｃ*cos(180°−∠Ｂ)＝−ｃ*cosＢ
　　　　ＣＨ＝ＢＨ＋ＢＣ＝−ｃ*cosＢ＋a
　　　　三平方の定理より
　　　　ｂ^2＝(ｃ*sinＢ)^2＋(−ｃ*cosＢ＋a)^2＝a^2＋ｃ^2−2ac*cosＢ
　　　
問3：17個の玉から8個を選ぶのは
　　 17Ｃ8＝24310通り
　　 これを円になるように並べるからその組み合わせは
(8−1)!＝5040通り
　　 ゆえに、求める組み合わせは
24310*5040＝122522400通りである。

　　 ＊別解
円順列はぐるぐる回すと同じものになる組み合わせがあり、玉を8個使う今回は同じものが8通りできる。ゆえに、
　　 (17Ｐ8)/8＝122522400通りである。

問4：(1)3Ｃ2*(3/11)2*(8/11)=216/1331

(2)1-(3/11)4=1-(81/14641)=14560/14641

　　 (3)取り出す回数が1回の期待値は3/11回である。
　　　　取り出す回数が2回の期待値は(9/121)*2+(48/121)*1=66/121=6/11である。
　　　　3回の期待値は(27/1331)*3+(216/1331)*2+(576/1331)=9/11
　　　　4回の期待値は(81/14641)*4+(864/14641)*3+(3456/14641)*2+(6144
/14641)=12/11
　　　　よって、赤い玉を取り出す期待値が1回をこえるには最低4回取り出せば
よい。

問5：(i)左の図において、円周角より
　　　　∠ＢＡＣ=∠ＢＤＣ
　　　　∠ＡＣＤ=∠ＡＢＤ
　　　　二角相等で
　　　　△ＡＣＰ∽△ＤＢＰ
　　　　よって
　　　　ＰＡ:ＰＣ=ＰＤ:ＰＢ
　　　　ゆえに
　　　　ＰＡ・ＰＢ=ＰＣ・ＰＤ
　　(ii)図において、円に内接する四角形の内対角より、
　　　　∠ＰＡＣ=∠ＰＤＢ
　　　　∠ＰＣＡ=∠ＰＢＤ
　　　　二角相等で
　　　　△ＰＡＣ∽△ＰＤＢ
　　　　よって
　　　　ＰＡ:ＰＣ=ＰＤ:ＰＢ
　　　　ゆえに
　　　　ＰＡ・ＰＢ=ＰＣ・ＰＤ
　 (iii)図において、接弦定理より、
∠ＰＴＡ=∠ＰＢＴ
また、共通の角で
∠ＴＰＡ=∠ＢＰＴ
二角相等で
△ＴＰＡ∽△ＢＰＴ
よって
ＰＴ:ＰＡ=ＰＢ:ＰＴ
ゆえに
ＰＴ^2=ＰＡ・ＰＢ

問6：(1)
┏┳┳┳┳┳┳Ｄ
┣╋╋╋╋╋╋┫
┣╋╋╋╋╋B2┫
┣╋╋╋╋╋╋┫
┣╋B1╋╋╋╋┫
┣╋╋╋╋╋╋┫
Ａ┻┻┻┻┻┻┛

　　　　図がこのような形であるとした時、全ての経路は
　　　　13!/6!7!＝1716通り
　　　　また、南西のＢをＢ1、北東のＢをＢ2とすると、両方を通る経路は
　　　　(4!/2!2!)*(6!/2!4!)*(3!/2!1!)＝270通り

┏┳┳┳┳┳┳Ｄ
┣╋╋╋╋╋╋┫
┣╋╋┻┻┻B2┫
┣╋┫　　　┣┫
┣╋B1┳┳┳╋┫
┣╋╋╋╋╋╋┫
Ａ┻┻┻┻┻┻┛
　　　　元の図において、両方を通る経路は
　　　　(4!/2!2!)*2*(3!/2!1!)＝36通り
　　　　よって、元の図において全ての経路は
　　　　1716−(270−36)＝1476通り
　　　　また、Ｂ1だけを通る経路は
　　　　(4!/2!2!)*(7!/2!5!＋5!/1!4!)−36＝120通り
　　　　Ｂ2だけを通る経路は
　　　　(8!/2!6!＋6!/2!4!)*(3!/2!1!)−36＝93通り
　　　　ゆえに、求める経路は
　　　　1476−(36＋120＋93)＝1227通りである。
　　
　　 (2)(1)より、Ｂを1回通る経路は
　　　　120＋93＝213通り
　　　　また、Ｂ1、Ｂ2の両方を通るのは36通りである。
　　　　全体が1227通りだから、それぞれの経路を通る確率は
　　　　213/1227、36/1227
　　　　よって、Ｂを通る回数の期待値は
　　　　(213/1227)*1＋(36/1227)*2＝285/1227＝95/409である。　　　

問7： 円の中心をＯ、それに内接する四角形との交点をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄとする。
　　(1)円Ｏに内接する△ＡＢＣにおいて
　　　 (i)ＡＣが中心Ｏを通る時、△ＯＢＣは二等辺三角形だから
　　　　　∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ
　　　　　また、∠ＡＯＢは∠ＣＯＢの外角だから、
　　　　　∠ＡＯＢ＝∠ＯＢＣ＋∠ＯＣＢ＝2∠ＯＣＢ
　　　　　よって∠ＯＣＢ＝1/2∠ＡＯＢ
　　　(ii)どの辺もＯを通らない時、ＣとＯを通る直線を引き、Ｃ以外の円との交点をＥとする。
　　　　　△ＣＡＥ、△ＣＢＥはともにＯを通る三角形だから、(i)より
　　　　　∠ＡＣＥ＝1/2∠ＡＯＥ、∠ＢＣＥ＝1/2∠ＢＯＥである。
　　　　　∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＥ＋∠ＢＣＥだから
　　　　　∠ＡＣＢ＝1/2(∠ＡＯＥ＋∠ＢＯＥ)＝1/2∠ＡＯＢ
　　　　　(i)、(ii)より、同じ弧の円周角は中心角の半分に等しい。
　　　　　

　　(2)∠ＢＡＤは∠ＢＯＤの円周角だから、
　　　 ∠ＢＡＤ＝1/2∠ＢＯＤ
また、∠ＢＯＤの外角は360°−∠ＢＯＤである。
　　　 この時、∠ＢＣＤは∠ＢＯＤの外角の円周角だから
　　　 ∠ＢＣＤ＝1/2(360°−∠ＢＯＤ)＝180°−1/2∠ＢＯＤ
∠ＢＡＤと∠ＢＣＤは対角であり、
　　　 ∠ＢＡＤ＋∠ＢＣＤ＝180°
　　　 ゆえに、円に内接する四角形の対角の和は180°である。
　　　

問8：(1)ＰとＱの中心をそれぞれｐ、ｑとすると、
　　　　ｐ＋ｑ＝13＞12
　　　　よって、ＰとＱは異なる2点で交わる。

　　 (2)ｐから接線に平行な直線を引き、ｑＳとの交点をＸとする。この時四角形ｐＸＳＲは長方形だから、
　　　　ｐＸ＝ＲＳである。
　　　　また、ＸＳ＝ｐＲ＝6より、ｑＸ＝1
　　　　よって、ｐＸ＞0だから、三平方の定理より
　　　　ｐＸ＝√(144−1)＝√143
　　　　ゆえに、ＲＳ＝√143である。

　　 (3)(2)より、ｐｑ＝ｒだから
　　　　ＲＳ＝√(ｒ^2−1)である。



・次回予告

読書の秋と言われる季節になった。そんなことをしきりに叫ぶ奴に限って大して読んでない気がするが、まあ良い。たまには知識を蓄える時間が必要だからな、イスムカ達と何か読んでみるか。次回、第18話「知識の山」。俺の明日は俺が決める。


・あつあ通信vol.83

この連載を始めた当初はここで話すネタに困りがちでした。今は少し楽になりましたが。前作はあれでも途中から始めたので、貯まったネタで話をつないでいたのです。

さて、皆さんは今回のテストで何問解けたでしょうか。証明問題はやや手強いですが、全体的に基礎的な事項の定着を計る構成としました。格子状の道と期待値なんかは、まさにその典型的な例ですね。複合問題や証明問題を増やした分、ネタ切れで後半が適当だったのですが、そこにまだまだ力不足を感じました。次回はより完成度を上げるので、是非挑戦してみてください。


あつあ通信vol.83、編者あつあつおでん